Sistem Persamaan Kuadrat (Linear-Kuadrat)

Materi    : Sistem Persamaan Linear-Kuadrat

      Kelas      : X IPA 4,5,6 daan X IPS 3

      Tanggal : 8 Oktober 2019

Waktu   : 2 x 45 menit

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit

Suatu persamaan dua variable x dan y dikatakan berbentuk eksplisit apabila persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y).
Contoh: (1) x = 5y + 20                                    (3) y = x² +2x - 15   
            (2) y = 4x - 8                                       (4) x = y² + 8y +12

Suatu persamaan dua variable x dan y dikatakan berbentuk implisit apabila persamaan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y). Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk f(x, y)
Contoh: (1) x² + y² + 25 = 0                              (3) x² - 6xy + y² + 8y = 0   
            (2) x² + y² - 4x +  6y = 0                      (4) x² + 2xy + y² - 10y + 9 = 0

Bentuk umum SPLK implisit ditulis sebagai berikut:

Dengan a, b, c, d, e, f, p, q, r merupakan bilangan-bilangan real

A. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit yang Tidak Dapat Difaktorkan

Penyelesaian SPLK implisit yang tidak difaktorkan adalah sebagai berikut.

1.  Pada persamaan linear px + qy + r = 0, nyatakan x dalam y atau y dalam x.

2.  Substitusikan x atau y dari persamaan linear ke persamaan kuadrat, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y.

3.  Selesaikan persamaan kuadrat dari langkah (2) sehingga diperoleh nilai x atau y, kemudian substitusikan nilai x atau y ke persamaan linear.

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian SPLK

Jawab:
x + y - 4 = 0  y = -x + 4

Substitusikan y ke persamaan x² + y² - 10 = 0
           x² + (-x + 4)² - 10 = 0

  x² + x² - 8x + 16 - 10 = 0

               2x² - 8x + 6 = 0

                 x² - 4x + 3 = 0

             (x - 1) (x - 3) = 0

   x = 1 atau x = 3

      x = 1 y = -1 + 4 = 3

      x = 3 y = -3 + 4 = 1

Jadi, himpunan penyelesaian = {(1, 3) atau (3, 1)}

Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian SPLK

Jawab:
x - y = 5 x = y + 5

Substitusikan x ke persamaan x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0
            (y + 5)² + y² - 2(y + 5) + 4y + 1 = 0

   y² + 10y + 25 + y² - 2y - 10 + 4y + 1 = 0

                                  2y² + 12y + 16 = 0

                                       y² + 6y + 8 = 0

                                   (y + 2) (y + 4) = 0

    y = -2 atau y = -4

       y = -2 x = -2 + 5 = 3

       y = -4 x = -4 + 5 = 1

Jadi, himpunan penyelesaian = {(1, -4), (3, -2)}.

. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit yang Dapat Difaktorkan

Penyelesaian SPLK implisit yang dapat difaktorkan adalah sebagai berikut.

1.  Ubah persamaan ax² + by² + cxy + dx + ey + f = 0 menjadi bentuk (mx + ny)² - s² = 0 selanjutnya diubah menjadi {(mx + ny) + s}{(mx + ny) -s} = 0, sehingga diperoleh
mx + ny + s = 0 atau mx + ny -s = 0

2.  Eliminasikan persamaan px + qy + r = 0 dengan mx + ny + s = 0 dan mx + ny -s = 0 sehingga diperolah nilai x dan y.

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian SPLK

Jawab:
           x² - 6xy + 9y² - 36 = 0

               (x - 3y)² - 36 = 0

  (x - 3y + 6)(x - 3y - 6) = 0

  x - 3y + 6 = 0 atau x - 3y - 6 = 0

  x - 3y = -6  atau x - 3y = 6

Eliminasikan x + y = 2 dengan x - 3y = -6  dan x - 3y = 6

  x + y = 2

  x - 3y = -6

       4y = 8             x + 2 = 8

        y = 2                   x = 0

  x + y = 2

  x - 3y = -6

 

       4y = 8             x + 2 = 8

        y = 2                   x = 0

Jadi, himpunan penyelesaian = {(0, 2), (3, -1)}